重回帰分析とは？わかりやすく説明したいという気持ちとは裏腹に

やまだです。

本記事より統計の新シリーズ開幕です。

テーマは、「重回帰分析」です。

重回帰分析とは？

重回帰分析を説明するにあたって、下図を参照し、まずは「重回帰分析が、多変量解析の1つ」だということをよく理解してください。

各データが複数の変数をもつデータをのことを「多変量データ」と呼びます。例えば、人を対象としてデータを集める場合、個人の「性別」や「年齢」あるいは「年収」など複数項目に関するデータを集めますよね。それが「多変量データ」です。

そして、そのような多変量データを同時に分析することで、変数間の関係性や特徴を見出すことができます。これが「多変量解析」であり、その中の1つが「重回帰分析」ということなのです。

重回帰分析って、どんな分析？

以上を踏まえ、重回帰分析がどんな分析なのか？

ということについて話を進めます。

簡潔に述べると

重回帰分析とは「複数の独立変数の影響力を探り、従属変数の予測を行う」分析方法のことです。

「複数の独立変数」という点が、「1つの独立変数から、従属変数の予測を行う」回帰分析とは異なります。

具体的に考えてみる

例えば、ブログのPV（ページビュー）数がどうすれば伸びていくためには、直帰率（ブログを１ページしか見てない人の割合）と滞在時間（1つの記事を読んでる時間）が関係あると仮定します。

その場合、独立変数と従属変数は以下の様になります。

• 独立変数①・・・滞在時間
• 独立変数②・・・直帰率
• 従属変数・・・PV数

つまり、直帰率と滞在時間が「原因」、PV数が「結果」であると考えて、その結果を予測しようというわけです。

重回帰分式

で、この予測をするための式は

• 「y＝ax+ bz+c」

と、このようになります。

つまり、

• x・・・滞在時間
• z・・・直帰率
• y・・・PV数

という事を想定してます。

この様に、独立変数が複数になったときの回帰式を重回帰式と呼び、各独立変数に対応した回帰係数を偏回帰係数と呼びます。

ここでの、独立変数はxとzですから、それに対応している「a」と「b」が偏回帰係数に該当します。

実際に、重回帰式を作ってみる

と、こんな説明をしてもあまりピンとこない方も多いかと思うので、実際に重回帰式を作ってみることにします。

どうやって作るのかといえば、こちらのデータを使います。

先ほどの

• 「y＝ax+ bz+c」

という式に、こちらのデータを代入するのです。中学生のときにやった連立方程式を解くときのノリですね。

1. 1100＝75a+70b+c
2. 1200＝90a+65b+c
3. 900＝60a+ 80b+c

で、この連立方程式を解くと、

• a=8
• b=4
• c=220

と決まります。

これで、重回帰式が

• 「y＝8x+ 4z+220」

となる事がわかりましたからこれで、「それぞれの独立変数に対応した回帰係数」、つまり、「偏回帰係数」もわかります。

• x(滞在時間)の偏回帰係数・・・8
• z(直帰率)の偏回帰係数・・・4

という事ですね。

では最後に、この偏回帰係数から、重回帰分析のもう1つの目的について考えてみる事にします。

重回帰分析の、もう1つの目的

すでに述べたとおり、重回帰分析の目的は、複数の独立変数から従属変数の値を予測する事です。しかし、それ以外の目的にも使われる事があります。それは、各独立変数が従属変数に与える影響を比較する事です。

どういう意味でしょうか？

先ほどのブログのPV数を予測するための重回帰式を使って考えてみましょう。

• 「y＝8x+ 4z+220」

すでに述べたとおり、この式の偏回帰係数は、以下の通りです。

• x(滞在時間)の偏回帰係数・・・8
• z(直帰率)の偏回帰係数・・・4

そうすると、この2つの偏回帰係数で、大きいのは「滞在時間」の「８」ですよね。

ということは、PV数に与える影響は、直帰率よりも滞在時間の方が大きいと言えるのでしょう？

そうではありません。

なぜなら、このままでは単位が異なるからです。この重回帰式は、もともと直帰率（％）と滞在時間（秒）で求めましたよね？とであれば、このまま比較するのは変な話で、算数の成績と英語の成績を比べて、どっちのが頭良い？みたいな比べ方をしてるってことですよ？

加えて、その意味がは、平均的によっても異なります。つまり、同じ80点だったとしても、平均点が50点なのか、それとも90点なのかでその意味が大きく変わってくるということです。したがって、偏回帰係数を比較するためには、この十回帰式を「標準化」する必要があるということです。

まとめ

さて、いかがでしたでしょうか？

最後に重回帰分析の要点をまとめておわかれです。

1. 重回帰分析は、多変量解析のうちの1つ
2. 重回帰分析は、2つ以上の独立変数から従属変数を予測する回帰分析の１種
3. 従属変数を予測する式は、「重回帰分式」と呼ばれ「y＝ax+ bz+c」の形をとる
4. 重回帰分析は、独立変数が従属変数に与える影響を比較する目的でも使われる

参考文献

①統計学がわかる（回帰分析・因子分析編）

統計学がわかる（回帰分析・因子分析編）

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向後千春/富永敦子 技術評論社 2009年01月

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②よくわかる心理統計

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山田剛史/村井潤一郎 ミネルヴァ書房 2004年09月

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③やさしく学ぶデータ分析に必要な統計の教科書

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羽山博 インプレス 2018年06月

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