因子分析における固有値とは？

やまだです。

今日は、「因子分析における固有値とは？」というテーマをお送りしたいと思います。

固有値って何？
どうやって使うの？
使いどころは？

という疑問をお持ちの方向けの記事です。

1 固有値とは
2 具体的に考えてみる
3 スクリープロット基準
4 参考書

固有値とは

今日も今日とて、結論ファーストでまずは定義をお示ししておきます。

固有値とは、「共通因子の数を決めるために使われる値（手がかり）」のことです。

因子分析は、分析を観測する段階ではわかっていません。なぜなら、観測変数の背後にどのような因子が潜在しているのか、それを探ることだからです。だからこそ、因子は潜在変数とよばれます。ということは、因子分析をする前には、「どのような因子が存在するのか？」という仮説を持っておく必要があります。（探索的因子分析）。

その仮説は、先行研究のレビューから、なされるのがまあ適切なわけですが、その１つとして固有値を用いるわけです。

また、仮説を立てる際の注意点としては、基本的に因子の数＜観測変数の数になるとうことですね。

　観測変数の数と共通因子の数が同じでは、わざわざ共通因子を考えた意味がなくなってしまいます。「できるだけ多くの観測変数を、できるだけ少ない共通因子で説明しよう」というのが因子分析です。その共通因子の数を決める手がかりが固有値というわけです。
（引用：統計学がわかる　因子分析・回帰分析編より）

ちなみに、心理や教育を専門とするいわゆる文系あがりの人間は、「因子の数を決定するための基準値」ぐらいの認識でいいのだと考えられます。実際に、因子分析を行う場合、統計ソフトを使って自動的に算出されるからです。

それに、因子分析についての書籍を出してる人間ですらもこんなことを言ってるくらいですので。まあ、それは書籍のタイトル上の配慮かもしれませんが・・・

固有値が何を意味するかというと、これも、統計の専門家にはしかられると思いますが、因子のなりやすさだと考えてください。
（引用：誰も教えてくれなかった因子分析より）

具体的に考えてみる

とはいえ、統計ってなんだかんだ説明だけ聞いてもいまいちわからないものですから、もう少し具体的に考えてみます。その方法の１つが以下です。

因子数の数を決定するには、この固有値がどこまでの値のところまでを因子として許すかということになります。つまり、どこで区切るかです。その区切り方には２通りあります。１つのやり方は、その最小値を決めるというやり方です。この値を変えてやれば、因子の数は増減します。この例では、何も設定しない場合、因子数の基準となる固有値の最小値は、「1」にしてあります。（カイザーガットマン基準）
（引用：誰も教えてくれなかった因子分析より）

固有値は、観測変数、つまり、質問項目の数と同じだけ算出されます。

例えば、観測変数が４つある場合、固有値は次のように算出されるということです。

そして、固有値の値が「１」を超えているか否かの境界線は、因子数が２と３の間ですよね？

したがって、この値を基準に「因子数を２つにしよう！」と意思決定できるわけです。

スクリープロット基準

もう１つの判断基準は、固有値をグラフで可視化し、その落差に基づいて判断する方法です。

　この基準は、一般には、固有値をグラフに描いて、それを見て人間が判断するという方式をとります。そのため、統計パッケージなどを利用する場合に、このグラフを描くように指定をして、あとは、人間が目で見て判断ということになります。このようなグラフのことをスクリープロットと言います。したがって、統計パッケージで利用するときには、スクリープロットを描かせるというオプションを指定するだけになります。
（引用：誰も教えてくれなかった因子分析より）

ということで、先ほどの表からスクリープロットを描くとこんな風になります。縦軸が固有値、横軸が因子の数を意味します。

こちらのスクリープロットを見ると、２番目から３番目の固有値を境にしてグラフの落下が急激に大きなものになってますよね？一方で、「1から2の直線」、「3から4の直線」の傾きはなだらかなものとなっています。そこで、「因子１と２で１つのまとまり」、「因子３と４で１つのまとまり」と考え、「因子数を２つにしよう！」と意思決定できるわけです。これが、「人間が目で見て判断する」といことの意味ですね。